Aprendiendo Matematicas

2005-07-08T06:03:00.002-07:00

Las Matemáticas son aún más imprescindibles en la era de las nuevas tecnologías

PREGUNTAS ABP ENSEÑANDO POLINOMIOS Y OPERACIONES CON POLINOMIOS

1. Define Polinomio en R

Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Expresión algebraica formada por una suma de un número finito de monomios.

Son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un término del polinomio.

MONOMIO	BINOMIO	TRINOMIO	POLINOMIO
Tiene un solo coeficiente distinto de 0.	2 términos	3 términos	4 o mas términos
xyz³	2x + 3y	3x + 5y – 7	P_(x) = a₀ xⁿ + a₁ xⁿ^{– 1}+ ... + a _n

Leoncio Santos Cuervo, polinomios1, consultada el 08/07/05, disponible en la web: <http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm>

Student start, Polinomios, consultada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.galeon.com/student_star/poldef.html>

Rincon del vago, Definición y ejemplos de polinomios, consultada el 08/07/05, disponible en: <http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html >

Álgebra, ánonima, consultada el 11/07/05,disponible en la web: <http://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/algeb01.htm>

2. Aplicaciones

Los polinomios son de mucha importancia en las ciencias e ingenierías. Los métodos numéricos requieren que los algoritmos proporcionen variedad de esquemas aplicados al modelo matemático del problema. Los polinomios también son de gran importancia en la informática, en los formateos que utilizan códigos e incognitas, es por eso que los informáticos utilizan los polinomios constantemente.

Polinomio, Silvia Sokolovsky, visitada el 11/07/05, disponibl en la web: <http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm>
Polinomios, Operaciones, Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm>
Ejemplos de polinomios y no polinomios, parentesis para la grupacion de expresiones, visitada el 11/07/05, disponible ne la web: <http://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/algeb01.htm#36>

3. Investiga sobre:

3.1. Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto

Se denomina grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras. De este modo los tres monomios anteriores serán: 1) de grado 2. 2) de grado 3 . 3) de grado 5.

GRADO RELATIVO

Veamos unos ejemplos para comprenderlo mejor:

4a³b²

En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia.
GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

x⁵y³z

En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: x⁵y³y¹
GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)

GRADO ABSOLUTO

Trabajaremos en los mismos ejemplos del caso anterior para comprender mejor:

4a³b²

El Grado Absoluto de un monomio, no es otra cosa que la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras. En este caso sumaremos el exponente de la letra a con el exponente de la letra b:
GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)

x⁵y³z

Recordamos que el exponente de la letra y es 1: x⁵y³y¹

GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)

Editora El Mundo, Grado absoluto y relativo de monomios y polinomios, consultada el 08/07/05, disponible en la web: <http://www.elmundo.com.sv/vernota.php3?nota=36183&fecha=2004-09-08>

Leoncio Santos Cuervo, Monomios y Polinomios, consultada el 08/07/05, disponible en la web: <http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinomi.htm>

Ánonima, Introducción al álgebra, consultada el 08/07/05, disponible en la web: <http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm>

3.2. Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas.

Es el grado del término de mayor grado. El término de primer grado se llama término lineal.
El término de grado cero se denomina término independiente.

Rincon del vago, Polinomios, consultada el 08/07/05, disponibl en la web: <http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html>

Grado relativo:

4a³b² +5a⁵b	En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.
4a³b² +5a⁵b¹	Antes de seguir trabajando completo los exponentes que no se ven
4a³b² +5a⁵b¹	Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5) GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
4a³b² +5a⁵b¹	Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2). GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Grado Absoluto: Sigamos con el mismo ejemplo:

4a³b² +5a⁵b	Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.
4a³b² +5a⁵b¹	Completo los exponentes que no se ven con 1.
4a³b² +5a⁵b¹	Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.
4a³b² +5a⁵b¹	Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.
4a³b² +5a⁵b¹	Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6. GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)

3.3. Polinomios especiales

Polinomios Homogéneos:

Son aquellos cuyos términos monomios tienen igual grado.
P(x,y) = x^5 y^3 + x^2 y ^6 + xy^7
x^5 y^3 = monomio de grado 8
x^2 y ^6= monomio de grado 8
xy^7= monomio de grado 8.

Polinomio Ordenado:

Un Polinomio ordenado respecto a una letra llamado ordenatriz es aquel en el cual los exponentes de dicha letra van aumentando o disminuyendo. Si el exponente de la ordenatriz va aumentando se dice que el polinomio estáordenado de forma ascendente y si va disminuyendo se dice que el polinomio está ordenado de forma descendente.
Ejemplo:
7x^4 - 8 x^3 + x^2 - 3x; es descendente respecto a X.
15x^6 - 3x^5 y + 6x^4 y^2 - 2x^3 y^3; es descendente respecto a x y ascendente respecto a y.

Polinomio Completo:

Es el que tiene los exponentes de su letra ordenatrizen forma consecutiva desde la mayor hasta el cero o viceversa.
Ejemplos:
5x - 6; polinomio de grado uno cuyo número de términos es 2.
8x^2 - 6x + 1; polinomio de grado 2; cuyo número de términos es 3.

Polinomios IdénticoS:

Dos polinomios reducidos son idénticos cuando los coeficientes que afectana sus términos semejantes son iguales.
Ejemplo:
Si: Ax^4 + Bx^2 + C = px^4 + qx^2 + r
Se debe cumplir : A = p ; B= q ; C= r

Polinomio Idénticamente Nulo:

Un polinomio reducido es idénticamente nulo, cuando los coeficientes de todos sus términos son nulos o Cero (0).
Ejemplo:
Si: Ax^4 + Bx^2 + Cx + D = 0 ; se debe cumplir que = A = B = C = D = 0

Conjuntos numericos, facultad de agronomia y agroindustrias, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://faa.unse.edu.ar/ingreso/matemat/matem_05.pdf>

Silvia Sokolovsky, Polinomios y sus operaciones, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm>

3.4. Operaciones con polinomios:

3.4.1.1. Adición

Suma o adición de polinomios
Dados dos polinomios A(x) y B(x), se llama suma o adición a otro polinomio S(x) cuyos términos son la suma de los términos de igual grado de los polinomios sumandos.
Ejemplo 1: Dados los polinomios

hallar S(x) = A(x) + B(x)
Una manera práctica de resolución es disponer los polinomios ordenados, encolumnando los monomios de igual grado

Como cada término de la suma S(x) se obtiene sumando los coeficientes de los monomios de igual grado, se puede escribir que

por lo tanto queda

Otra forma de resolver es
S(x) = A(x) + B(x) =

eliminando los paréntesis queda

operando con los coeficientes, se obtiene

Por Ejemplo

Suma y Resta de un Pôlinomio, Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma>
Suma o adicion de Polinomios, ánonima, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.ejercitando.com.ar/teormate/suma%20de%20polinomios.htm>
Polinomios, El Rincon del Vago, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html> Silvia Sokolovsky, operaciones con polinomios, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm>

Polinomios, Suma, resta, multiplicación, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.educared.net/concurso/61/polinomi.htm>

3.4.1.2. Sustracción

Sustracción de polinomios:
Para restar dos polinomios debemos sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.Tenemos dos polinomios A y B.
A (x) = 3 x 2 + 4 x + 20B (x) = 7 x 2 + 3 x + 2
Si queremos restarle B a A entonces sumaremos A al opuesto de B.

Plolinomios,anonima, visitada el 11 de Julio del 2005, disponible en la web: <http://www.educared.net/concurso/61/polinomi.htm>

Sustracción de Polinomios, Resta de Polinomios, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.edulat.com/3eraetapa/matematicas/2%20ano/24.htm>

3.4.1.3. Multiplicación

Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.
A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios P(x) = 5x + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4:
P(x) . Q(x) = (5x + 11) (x3 + 2x2 + 4) (aplicamos distributiva)
P(x) . Q(x) = 5x4 + 10x3 + 20x + 11x3 + 22x2 + 44 (sumamos)
P(x) . Q(x) = 5x4 + (10 + 11) x3 + 22x2 + 20x + 44
P(x) . Q(x) = 5x4 + 21 x3 + 22x2 + 20x + 44
La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso.
La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que
P(x)·[Q(x) + R(x)] = P(x) · Q(x) + P(x) · R(x)

Silvia Sokolovsky, operaciones con polinomios, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm> Producto de Polinomios, Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#producto>
El rincon del Vago, polinomios, visitada el 11/07/05, disponibl en la web: <http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html> Polinomios, Suma, resta, multiplicación , visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.educared.net/concurso/61/polinomi.htm>

3.4.1.4. Productos notables: casos, Identidades de Legendre

Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de Productos Notables.

Son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación.

Ánonima, Productos notable, consultada el 08/07/05, disponible en la web: <http://64.233.187.104/search?q=cache:1V-cf-UzESEJ:sipan.inictel.gob.pe/internet/av/pnotable.htm+Productos+notables&hl=es>

Identidades de Legendre:

(a + b)² + (a – b)² = 2 a² 2b² = 2(a² + b²)

(a + b)² + ( a – b)² = 4 ab

Productos notables, ánonima, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm>

Formulas de los Productos notables, ánonima, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://72.14.207.104/search?q=cache:8dBD5JbppeMJ:sipan.inictel.gob.pe/internet/av/formulpn.htm+productos+notables&hl=es>

Definición de productos notables, anonima, visitada el 11/07/05, diponible en la web: <http://72.14.207.104/search?q=cache:1V-cf-UzESEJ:sipan.inictel.gob.pe/internet/av/pnotable.htm+productos+notables&hl=es>

Productos Notables, anonima, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml>

3.5. Ejercicios y problemas aplicativos

Halla el Grado relativo y el grado absoluto de los siguientes ejercicios:

1. –2x²y³

El grado relativo con respecto a la variable x es 2
El grado relativo con respecto a la variable y es 3
El grado absoluto es 5

2. x²+ y²+ 2xy

El grado relativo con respecto a la variable x es 2
El grado relativo con respecto a la variable y es 2
El grado absoluto es 2

El grado relativo con respecto a la variable x es 2
El grado relativo con respecto a la variable y es 4
El grado relativo con respecto a la variable z es 2
El grado absoluto es = 8

Resuelve:

1. (8y + 6x) - (34y - 10x)

(8y + 6x) - (34y - 10x) = 8y + 6x - 34y + 10x
8y + 6x - 34y + 10x = 16x - 26y

2. (x - 6)(x³ + y)

(x - 6)(x³ + y) = x(x³ + y) - 6(x³ + y)
x(x³ + y) - 6(x³ + y) = x⁴ + xy - 6x³ - 6y

3. 3a²b(2ab + 4ca)

3a²b(2ab + 4ca) = 6a³b² + 12a³bc

4. ( k - m ) ²

( k - m ) ² = k ² - 2km + m ²

5. (p + q) ²

(p + q) ² = p ² + 2pq + q ²

6. ( a - b )( a + b )

( a - b )( a + b ) = a ² - b ²

7. (w + z)(w - z)

^{(w + z)(w - z) = w 2 - z 2}

^{Productos Notables, ejercicios, anonima, visitada el 11/07/05, disponible en la web:}

^<^{http://www.eneayudas.cl/productosnot1entrada.htm>}

Polinomios, ejemplos, anonima, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://www.galeon.com/student_star/polmul.html>

Ejemplos de polinomios, anonima, visitada el 11/07/05, disponible en la web: <http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm>

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